聚点这个概念，听起来有点抽象，其实，它在数学分析里，非常重要，特别是，在实变函数中，更是核心，今天，我们就来聊聊，到底什么是聚点，以及，我们该如何，去求一个集合的聚点。
我们得明白，聚点是什么，简单说，一个点，如果它的任意小邻域内，都包含集合中，无穷多个点，那么，这个点，就是聚点，注意，这个点本身，可以不在集合里，所以，聚点也叫极限点，它刻画了，集合的“凝聚”特性。
那么，具体怎么求呢，别急，我们一步步来。
1、从定义出发，直接验证
最根本的方法，就是回归定义，给定一个集合，和一个候选点，我们检查，该点的任意邻域，是否总包含，集合中，异于该点的点，如果是，它就是聚点。
比如，集合是开区间，那么，区间内每个点，显然都是聚点，因为，你取再小的邻域，里面也全是集合的点，而且，区间的端点，虽然不在集合内，但它的任意邻域，也包含了，集合内的点，所以，端点也是聚点。
这个方法，很直接，但有时候，操作起来，比较繁琐，需要，对每个点，进行判断。
2、利用序列与极限的关系
一个非常有用的定理是，点x是集合E的聚点，当且仅当，存在E中，一个各项互异的点列，这个点列，以x为极限，这个定理，把聚点问题，转化为了，找收敛子列的问题。
比如，集合是{1, 1/2, 1/3, ...}，显然，点0不在集合里，但是，我们可以取点列，就是集合本身，它收敛到0，而且，各项互异，所以，0就是，这个集合的聚点，而集合内，其他点，都不是聚点。
这个方法，在证明中，尤其常用，它提供了，一个动态的视角。
3、区分内点、边界点与聚点
理解聚点，还要厘清，它和内点，以及边界点的关系，一个集合的内点，一定是聚点，因为内点，有个邻域，完全在集合内，自然包含，无穷多点。
而边界点，则不一定，如果边界点，某个邻域内，只有它自己，属于集合，那么，它就不是聚点，比如，孤立点集合，它的每个点，都是边界点，但都不是聚点。
所以，求聚点的时候，可以先找，集合的所有内点，它们肯定是，然后，再重点考察，那些边界点。
4、掌握常见集合的聚点
记住一些，典型集合的聚点，很有帮助，这能让你，快速判断。
比如，任何区间，无论开闭，它的聚点集，就是它的闭包，也就是，区间本身，加上端点，而有理数集，在整个实数轴上，处处稠密，所以，每个实数，都是它的聚点。
再比如，整数集，它的每个点，都是孤立点，所以，没有聚点，而康托尔集，虽然很稀疏，但它完美，没有孤立点，它的每个点，都是聚点。
求聚点，核心是理解，它的定义内涵，然后，灵活运用，序列工具，并分清，它与其他点的联系，多练习几个例子，你就能，熟练掌握了。
